Ordre partiel ou ordre total


Le collectionneur universel (7)

Ordre partiel ou ordre total ?

Questions sur la mesure de la complexité organisée (suite)

• La complexité organisée définit-elle un ordre partiel ou total au sens du mathématicien ? Autrement dit, si on classait les objets numériques par complexité organisée croissante obtiendrait-on une ligne ou au contraire une structure non linéaire plus riche (avec certaines paires d'éléments incomparables entre eux ?)

Dit autrement encore, pour arriver à un niveau de complexité N, faut-il passer par tous les M qui ont moins de complexité ou au contraire, peut-on envisager qu'il existe plusieurs cheminements essentiellement différents et n'en emprunter qu'un ?

La réponse facile à cette question consisterait à défendre que la complexité organisée ordonne les objets comme le sont ceux dans un ensemble non totalement ordonné. Diverses intelligences pourraient explorer des parties différentes du monde des structures. Cependant, sans pouvoir en donner la preuve, je crois qu'on doit plutôt imaginer que pour aller loin (pour arriver à des objets ayant en eux un fort contenu en calcul) certains points de passage sont obligés.

La complexité organisée n'engendrerait pas un ordre total — c'est difficilement défendable, je crois — mais engendrerait un ordre partiel mais qui vue de loin serait total. (Pour donner un sens mathématique à cette idée, il faut imaginer identifier certains objets entre eux, et imposer que la relation d'ordre déduite sur ces classes d'objets devienne une relation d'ordre totale). Asymptotiquement toute partie de l'univers dont la complexité organisée augmenterait infiniment passerait par des points obligés, c'est-à-dire équivalents du point de vue du contenu en calcul. L'image est la même que celle qu'on a assez souvent du savoir mathématique : toute civilisation développant des mathématiques avancées découvrirait les entiers relatifs, la constante e, le corps des nombres réels, les anneaux de polynômes, les surfaces toriques, le plan projectif, le calcul des prédicats, les théorèmes de Gödel, etc.

Croître en complexité structurée, en contenu en calcul, c'est franchir des étapes, comme avancer en mathématiques. Tous les chemins ne sont pas identiques, mais tous se ressemblent, et ceux qui les empruntent peuvent se parler les uns avec les autres (une fois trouvés les codes de traduction). L'augmentation de complexité organisée c'est l'ascension d'une montagne sans fin, certains passages sont libres, mais certains points du parcours sont étroits et il est impossible de les éviter.

Les difficultés rencontrées pour définir proprement une mesure de complexité organisée proviennent en partie de cette situation. Pas plus qu'il n'est possible de comparer toutes les intelligences, on ne peut comparer simplement tous les objets pour en déterminer un contenu exact en structure (ou ce qui revient au même : en calcul). Il y a des échelles partielles, utiles et plus ou moins conventionnelles, mais pas d'échelle ultime.

• La profondeur logique de Bennett est un nombre. Peut-on penser que la complexité organisée soit elle aussi mesurable par un nombre qu'on définira mathématiquement ou physiquement ?

La profondeur logique de Bennett nous montre une direction. Charles Bennett lui-même en propose plusieurs versions. Toutes sont sans doute assez imparfaites car par exemple elles ne prennent pas en compte l'espace mémoire nécessaire aux calculs. La version pour laquelle il démontre un théorème d'invariance dépend d'un paramètre : comment le choisir ? Elle est relative à une machine universelle de type particulier, etc. L'idée de définir une mesure de contenu en calcul est certainement bonne. Les pistes explorées aujourd'hui nous font avancer, mais la théorie est délicate et il est difficile de soutenir que nous disposons aujourd'hui de la solution ultime. Peut-être manquons nous aujourd'hui d'une théorie du calcul plus abstraite qui permettrait de penser les diverses pistes explorées de manière unifiée et convergente.

Il n'en reste pas moins qu'entre un livre A et deux livres A et B (non copie l'un de l'autre) par exemple, il est certain que les deux livres recèlent plus de complexité organisée qu'un seul. Plus généralement, la comparaison de deux structures en pensant à leur contenu en "complexité organisée" sera très souvent facile et immédiate. Disposer d'une définition parfaite et définitive n'est donc pas nécessaire pour accorder à la complexité organisée une place de concept central. La formalisation partielle dont on dispose avec la profondeur logique de Bennett montre que l'idée n'est pas forcément rétive à un traitement mathématique, et qu'elle est, au moins sous forme simplifiée, un concept mathématique.

L'une des obstacles fondamentaux à la mise au point d'une définition entièrement satisfaisante d'un concept scientifique de complexité organisée utilisable (au moins comme outil de pensée) provient de la difficulté qu'il y a à proposer des modèles de calcul définitif qui s'accordent au monde physique réel (une question est par exemple : ces modèles doivent-ils être quantiques ?) et qui prennent en compte de manière satisfaisante les limitations de type finitistes que le monde physique impose. Les modèles de calcul qu'utilise l'informatique théorique se fondent sur des idées simplifiées et irréalistes de l'espace, du temps et n'ont le plus souvent de sens qu'asymptotiquement : qu'est-ce par exemple qu'une machine universelle de Turing (rappelons qu'elle utilise un ruban de calcul potentiellement infini) dans un univers physique borné comme l'est peut-être le nôtre ?

Sans doute sommes-nous condamnés à nous satisfaire de concepts simplifiés, et toujours imparfaits. Reste que ces concepts nous éclairent, et que ce sont eux qui nous permettent d'avoir les visions les plus justes sur le monde. Tout se passe comme avec les équations de la chaleur par exemple : elles sont fausses puisque le monde physique n'est pas vraiment continu comme ces équations le présupposent, mais composé de d'atomes qui eux-mêmes se décomposent en particules élémentaires plus fondamentales. Les équations de la chaleur sont inexactes au sens strict, et nous le savons. Rien cependant ne permet de mieux décrire et de mieux prévoir la diffusion de la chaleur que les calculs qu'on en tire. Il en va de même pour la complexité organisée et la théorie de la calculabilité.


3 commentaires pour “Ordre partiel ou ordre total”

  1. Claude Chaunier Répondre | Permalink

    Il est vrai que notre monde vivant, industriel ou scientifique n'optimisent pas leurs entités dans l'isolément les unes des autres. La portée d'une innovation y est d'autant plus grande qu'elle accélère l'apparition de beaucoup d'autres entités apparentées.

    Entre les lignes de votre article, je crois lire qu'il ne faut donc pas se contenter de mesurer la complexité organisée des entités chacune indépendamment.

    Il est facile de formaliser la complexité de Kolmogorov conjointe K(A+B) de deux entités A et B, ou leur complexité K(A+B | C) supposant un accès gratuit à une tierce entité C.

    Les deux entités A et B on beaucoup en commun si K(A+B) est plus proche de max(K(A),K(B)) que de K(A)+K(B). Un point commun maximal pourrait être je pense une entité C minimisant K(A|C)+K(B|C)+K(C), autrement dit on ne paye qu'une fois pour C.

    Hélas, je ne vois pas comment C pourrait être unique, comme un point de passage obligé. Il peut y avoir tellement de façons différentes et pourtant équivalentes de faire un calcul et d'en coder-décoder rapidement le résultat.

  2. Axel Répondre | Permalink

    Il n'est pas inutile de rappeler les fondamentaux ! Une relation d'ordre totale est une relation binaire qui doit être :
    - transitive (si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z);
    - antisymétrique (si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y);
    - réflexive (x ≤ x) ;
    - et totale (x ≤ y ou y ≤ x)

    On ne peut pas nous dit Gödel obtenir dans un système logique du premier ordre obtenir un ordre total récursif... C'est exactement la même chose que d'espérer de de la clôture algébrique de R la conservation de la comparaison et donc une clôture parfaite (analytique)... Non, il existe une obstruction mathématique, un foncteur d'oubli de structure au corps des complexes (c'est une surface de Riemann).

    La question qui se pose est selon moi la suivante : peut on espérer pouvoir quantifier cet "ordre partiel maximal", la non-analycité du corps des complexes ?

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