L’illusion de la simplicité

14.10.2013 | par Jean-Paul Delahaye | Illusion, pavages

Il arrive parfois dans la vie de tous les jours qu'on se trompe en croyant simple quelque chose qui ne l'est pas. On décidera par exemple de ne pas s'occuper longtemps à l'avance de l'obtention d'un visa pour l'Inde, et on découvrira que l'affaire est compliquée et qu'une semaine seule ne permet pas de réussir.

En mathématiques, l'histoire des pavages pentagonaux est un remarquable cas de cette nature. Il est même tout à fait étonnant de voir à quel point la communauté mathématique a été bernée plusieurs fois de suite —par suffisance— au sujet d'un problème dont les progrès sont parfois venus d'amateurs attentifs et minutieux qui ont donné des leçons aux professionnels.
Le problème est le suivant : quels sont les pentagones convexes qui ont la propriété de paver le plan, c'est-à-dire dont les copies peuvent s'ajuster —sans se chevaucher et sans laisser d'espaces vides— de manière à couvrir le plan tout entier ?
Le pavage du Caire donne un exemple de tels pentagones.

Certes, cette solution est un peu inattendue et l'ayant vue on se dit qu'il en existe probablement quelques autres du même type. On ne doute pas cependant qu'un peu de méthode va conduire à une énumération exhaustive des pavages recherchés.
Le problème fut ainsi jugé facile, et du coup peu intéressant : les mathématiciens aiment ce qui résiste. La suite de l'histoire montre qu'ils ont été la victime collective de l'illusion de la simplicité et qu'ils en ont été victime à un tel point qu'aujourd'hui le problème facile n'est toujours pas résolu. Plus amusant, le mépris pour ce problème —qui de toute évidence ne méritait aucun attention !— fut tel qu'on crut plusieurs fois l'avoir résolu alors qu'on se trompait. Les démonstrations qu'on pensait faciles et qu'on ne se donnait pas la peine de rédiger et de contrôler se sont révélées fausses les unes après les autres.

En 1918, dans sa thèse soutenue à l'Université de Francfort, Karl Reinhardt présente 5 classes de pentagones convexes qui pavent le plan. Il laisse entendre que prouver qu'il n'y en a pas d'autres est un travail fastidieux mais à la portée de tous. Pendant 50 ans, la communauté mathématique reste donc persuadée que le problème a été résolu, et n'a donc pas grand intérêt... puisque facile et résolu. Cependant, en 1968, Richard Kershner de l'Université Johns Hopkins à Baltimore reprend l'étude plus soigneusement. Il découvre 3 nouvelles classes de pentagones convexes qui pavent le plan. Il précise que c'est le manque de place qui l'empêche de détailler la preuve qu'avec les 5 classes précédentes et les 3 qu'il vient de découvrir, on dispose maintenant de la liste complète des 8 types de pentagones convexes pavant le plan.

Amusé et intéressé, Martin Gardner présente les résultats de Kershner dans sa rubrique de jeux mathématiques en juillet 1975. Les pavages trouvés sont graphiquement séduisants et c'est donc un plaisir pour lui de les présenter aux lecteurs du Scientific American. Il ne doute pas que les mathématiciens dont la réputation est qu'ils sont épris de rigueur et de sérieux ont démontré et vérifié cette liste de huit pavages.

Quelques jours après la publication de son article, il reçoit cependant une lettre de Richard James un informaticien californien lui proposant une nouvelle classe de pavés pentagonaux. Elle montre que Kershner, comme Reinhardt avant lui, s'est trompé en croyant disposer d'une liste exhaustive. De huit, on est passé à neuf. Le plus étonnant se trouve dans la suite du récit de ces péripéties géométriques.

Marjorie Rice, une mère américaine au foyer qui lisait le journal de son fils, y voit l'article de Martin Gardner relatant la nouvelle découverte de Richard James. Elle se met à chercher seule de nouveaux pentagones convexes pavant le plan. Elle ne possède aucune formation académique particulière en mathématiques, mais son esprit rigoureux et systématique et un travail minutieux essentiellement mené à l'aide de petits dessins la conduisent à découvrir quatre nouvelles classes oubliées par les professionnels ! De neuf on en arrive à treize. L'affaire ne s'arrête pas là !

En 1985, une nouvelle classe est ajoutée par Rolf Stein de l'Université de Dortmund. Il soutient qu'avec cette quatorzième classe, il complète définitivement l'énumération... avant qu'on découvre que sa démonstration d'exhaustivité est fausse.
Plus personne depuis ne s'est permis d'affirmer que la liste est complète. On le pense cependant.

On recherche une démonstration en bonne et due forme qu'il n'y a pas de quinzième solution, et cette fois, les spécialistes qui s'occupent de la question se gardent bien d'affirmer avoir réglé le problème avant d'avoir contrôlé que les démonstrations proposées sont vraiment-vraiment-vraiment justes.... ce qui ne s'est pas produit. Pour l'instant, malgré des thèses consacrées au sujet, des progrès partiels consignés dans des articles nombreux et parfois longs, des calculs à l'aide d'ordinateurs, la preuve recherchée manque toujours.

Ce qui semblait un problème facile est donc maintenant considéré comme un défi sérieux. La complexité du problème était cachée. Si bien cachée que personne ne la voyait et donc qu'on se trompait. D'erreur en erreur, il a fallu plus de 70 ans pour comprendre que ce qu'on avait jugé trivial était en fait exactement le contraire : un problème mathématique non résolu !
Retenons la leçon : croire sans bonnes raisons qu'un problème est simple est le moyen le plus sûr de se tromper ; toute complexité qu'on ne soupçonne pas constitue un grave danger.

Bibliographie


2 commentaires pour “L’illusion de la simplicité”

  1. janpol Répondre | Permalink

    bonjour jean-paul.
    Oui ce billet est intéressant et me rappelle la démonstration du GTF, et, dans une moindre mesure celle de la quadrature du cercle !
    Tout est dans la confrontation entre "problèmes concrets" et "problèmes qu'on crée" ! Avec les "règles" que l'on s'impose. Mais, généralement, il est impossible de paver un "plan" infini par définition ... avec des "morceaux" finis par nature. Il y aura toujours un epsilon à la limite !
    Heureusement, nous n'aurons jamais à le faire.

  2. david statucki Répondre | Permalink

    Bonjour,
    La moralité de cette histoire est bien fondée. Par ailleurs, le mépris auquel vous faites référence n'est-il pas aussi lié en partie de la quête intellectuelle qui consiste chez certains théoriciens à vouloir afficher en niveau d'élégance les résultats simples obtenus selon la complexité du problème posé . A problème très compliqué et réponse simple, courte, complète, la solution remplie les critères de beauté et d'élégance indiqué. Donc on écarte d'emblée les problèmes d'apparence simple en résolution.
    Ce miroir déformant d'une réalité qui fait écho à ce que vous indiquez.
    Pour autant l'inverse existe aussi dans d'autres situations, c'est-à-dire l'illusion d'une complexité qui n'est apparente. Cette illusion qui peut freiner l'envie générale de résoudre un problème et à qui s'y attaque avec courage avec le bon angle finalement d'obtenir une solution triviale. Est-ce alors une joie ou frustration pour celui qui met en avant cette facilité cachée?

    Amicalement 😉

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