Le contenu en calcul des mathématiques


Le collectionneur universel (3)

Le contenu en calcul des mathématiques

Questions sur la complexité organisée en mathématiques : Comment doit-on considérer les théorèmes mathématiques du point de vue de la "complexité organisée" ? Peut-on dire que la recherche mathématique (qui est incontestablement une recherche d'informations de valeur) est une recherche d'objets ayant un grand contenu en calcul ?

Nous affirmons que les théories et les résultats mathématiques doivent être vues comme de la complexité organisée et du contenu en calcul. Le justifier demande un travail particulier.

Il faut distinguer le théorème lui-même du théorème associé à sa démonstration, comme, il faut distinguer l'information qu'un nombre est premier, de l'information qu'un nombre est premier accompagnée d'un certificat de primalité (une information qui donne le moyen de vérifier rapidement que le nombre proposé est premier).

(a) Considérons d'abord le théorème associé à sa démonstration.

Un théorème mathématique associé à sa démonstration, qu'on en écrive la démonstration en respectant strictement les contraintes d'un système formel ou non, est une information de valeur, tout le monde l'accordera.

Si la profondeur logique de Bennett (comprise comme une notion construite sur le temps de calcul des programmes courts qui produisent un objet) est une bonne notion mesurant l'information utile et le contenu en calcul, on doit proposer un lien explicite entre un théorème associé à sa démonstration et des processus de calculs dont le théorème associé à sa démonstration détiendrait les résultats et les mémoriserait.

Un théorème associé à sa démonstration dans un cadre formel peut être vu comme la solution d'un problème de chemin à découvrir : le système formel définit implicitement l'arbre (infini) de toutes les démonstrations possibles qu'on peut mener en respectant ses règles ; trouver une démonstration c'est repérer une branche de cet arbre (celle dont les nœuds constituent la démonstration) ayant à son extrémité le théorème concerné. Par ailleurs, les théorèmes considérés comme ayant le plus de valeur sont ceux qui tout en ayant des énoncés assez courts, n'ont aucune démonstration courte.

Trouver des théorèmes de valeur (ou démontrer un théorème T fixé) peut se faire en théorie avec un programme court. On énumèrera toutes les démonstrations selon un ordre standard (correspondant à un parcours de l'arbre de toutes les démonstrations), jusqu'à avoir une démonstration de T. Les démonstrations ainsi trouvées seront (approximativement) les plus courtes possibles, car les énumérations standards favorisent d'une façon ou d'une autre les démonstrations courtes. La durée du calcul énumératif de recherche conduisant à T ne pourra pas être courte, sinon le théorème serait facile et de peu d'intérêt. Les courts programmes qui produisent des démonstrations intéressantes demandent donc de longs temps de calcul (du moins par les méthodes basiques, telles celle des parcours d'arbres). Autrement dit : un théorème intéressant avec sa démonstration est bien le résultat d'un programme court qui calcule longuement.

L'idée peut être rendue plus générale. Si un théorème avait une démonstration longue dans un système formel A, mais une démonstration courte dans un système naturel (nous allons revenir sur cet adjectif) B, ce théorème ne serait pas considéré comme intéressant ; le plus souvent on considérera simplement que le système A est inadéquat. Notons qu'en revanche, le fait que dans A sa démonstration soit possible et longue serait quand même jugé intéressant (c'est une situation de ce type qui s'est produite à propos du théorème des nombres premiers et de sa démonstration dite "élémentaire" par Atle Selberg de 1948). Qu'un système faible puisse, moyennant des complications, donner ce qui ne semblait pas aller de soi au départ présente un intérêt mathématique indubitable, cela même si pour beaucoup de mathématiciens ce qui compte principalement est l'existence de démonstrations dans des systèmes naturels (car c'est ce qui, à leurs yeux, établit leur vérité).

Dans le paragraphe précédent à propos de B, il fallait préciser naturel. En effet, on peut toujours ajouter le théorème qu'on recherche aux axiomes du système dans lequel on travaille, auquel cas la démonstration devient courte... mais n'a aucun intérêt et aucune valeur. Seules, les démonstrations dans des systèmes se présentant comme des formalisations naturelles de domaines mathématiques (l'arithmétique, la géométrie, etc.) sont à prendre en compte lorsqu'on parle de longueur d'une démonstration.

La situation est claire : les mathématiciens accordent de la valeur aux choses difficiles à trouver. Bien sûr, ils ne recherchent que des objets ou des démonstrations dans des univers assez simples à concevoir (se présentant spontanément à l'intuition) car pour eux est intéressant ce qui est universel (pas ce qui est arbitraire), et ce dont l'accès est délicat et demande un travail d'exploration, de compréhension, d'écriture et de contrôle rigoureux.

Cela signifie :

- qu'ils refusent bien sûr de considérer n'importe quels systèmes formels comme méritant d'être utilisé : pas question de prendre au sérieux une démonstration dans le système A complété par l'axiome T exprimant le théorème auquel ils s'intéressent !

- qu'au fond pour eux, l'intérêt provient du contraste entre (1) la simplicité du cadre (le système formel par exemple) auquel est associé un programme (court) d'énumération ou de parcours mécanique des possibilités  et (2) la simplicité (relative) de l'énoncé mis en avant et dont la démonstration ne vient pas immédiatement par la méthode d'énumération. En clair, il y a bien dans l'esprit du mathématicien un programme court d'énumération des preuves (ou objets) possibles, et un long temps de calcul (sinon le  théorème est facile).

Ce qui fait l'intérêt mathématique d'un résultat R est qu'il existe un ensemble de possibilités dont le programme d'énumération P est à peu de chose près le programme minimal, programme qui ne donne pas R rapidement. Le résultat R avec sa démonstration est considéré comme ayant une valeur mathématique car c'est bien un objet profond au sens de Charles Bennett : il peut être produit par un programme court, mais ce programme calculera longuement. Un théorème avec sa démonstration est le prototype même de l'objet richement structuré (une démonstration est toujours très structurée) ayant une fort contenu en calcul.

La non trivialité mathématique qui fascine les mathématiciens, qu'ils en aient conscience ou non,  est toujours associée à l'idée de programmes courts calculant longuement. Matérialisée dans le couple théorème-démonstration cette non trivialité est toujours un contenu en calcul : la valeur mathématique fondamentale est un contenu mémorisé en calculs irréductibles.

Connaître un résultat mathématique intéressant c'est avoir la possibilité de ne plus avoir à faire le long calcul qui y a conduit, c'est disposer d'un calcul cristallisé. Le mathématicien talentueux est celui qui pour des raisons plus ou moins claires (mais sans doute parce que son esprit calcule vite et qu'il est guidé par des résultats intermédiaires ou des liens avec d'autres problèmes résolus, liens qu'il a élaborés par des calculs préalables en lui-même ou dont il bénéficie car ils ont été rendus publics) trouve des résultats que sans lui on n'aurait pas trouvés. L'algorithme court qui y donne accès n'aurait produit le résultat qu'après un calcul d'une durée déraisonnable. Le mathématicien talentueux est celui qui utilise des calculs déjà cristallisés qu'il connaît (les ayant menés lui-même ou les trouvant dans les théorèmes déjà démontrés) et qui par le travail complémentaire effectué par son cerveau (lui aussi issue d'une longue élaboration et maturation) découvre ce qu'une exploration directe n'aurait produit que très difficilement.

Si aujourd'hui les méthodes de démonstration automatique ne produisent qu'une très faible partie des résultats mathématiques nouveaux et jugés intéressants par les mathématiciens c'est qu'on ne sait pas représenter assez bien en machine les connaissances cristallisées des mathématiciens. Ce sont elles qui permettent d'accélérer les calculs qu'ils mènent. Sans ces méthodes, les objets à fort contenu en calcul qu'ils tentent de découvrir resteraient introuvables. L'intelligence et le savoir-faire du mathématicien sont des outils qui lui donnent accès au calcul cristallisé disponible (dans les mathématiques déjà faites) et le rendent apte à concevoir des algorithmes donnant accès rapidement à ce qui sans cette utilisation est inaccessible car trop long à calculer.

Cette analyse de la valeur mathématique d'un théorème associé à sa démonstration s'applique à d'autres choses que le mathématicien considère comme ayant de la valeur. En voici un exemple. Il n'est pas rare qu'ayant défini un objet, ou un ensemble de propriétés, on cherche à le simplifier. On tentera par exemple de minimiser le nombre d'axiomes du calcul propositionnel ou de la géométrie euclidienne du plan. La mise au point de systèmes axiomatiques simples est considérée comme ayant une valeur mathématique. La preuve qu'un certain système simple convient se fait par une démonstration, mais celle-ci n'est pas nécessairement difficile. Ce qui est difficile et qui nécessite une longue exploration est la prise en considération des diverses combinaisons d'axiomes jusqu'à en trouver une qui soit plus simple que les autres et convenable. Dans un tel cas, il y a encore l'idée d'un long calcul énumératif (qui fait défiler les systèmes d'axiomes à envisager) et qui, comme résultat, produit des objets courts (le ou les bons systèmes d'axiomes), objets dont le programme minimal sera donc assez court mais calculant longuement.

Des analyses du même type montrent qu'un algorithme (même si on ne dispose pas de la preuve qu'il est correct) ou qu'une conjecture (même non démontrée) sont des objets résultant d'un long calcul irréductible.

(b) Qu'en est-il du théorème seul  (sans démonstration) ?

Il n'a de valeur qu'avec la garantie qu'il est juste. Cette garantie ne peut pas être donnée par son origine ("ce mathématicien ne se trompe jamais") donc elle n'est pas possible sans la démonstration.

Dans certain cas, rechercher une démonstration dont on a l'information qu'elle est juste même si on ne la connaît pas est une aide et permet de trouver plus rapidement la démonstration. Cependant cette accélération n'est pas générale. Il ne semble donc pas, sauf en de rares exceptions, que des énoncés isolés de mathématiques sans leurs démonstrations puissent être considérés comme de l'information de valeur ou de la complexité organisée ou du contenu en calcul.

Revenons sur le cas des conjectures qui est un peu à part. En général, le mathématicien qui énonce une conjecture (un énoncé dont il présume qu'il s'agit d'un théorème, mais dont il n'a pas la démonstration) ne le fait pas sans raison. Il le fait car il a mené des calculs pour trouver un contre-exemple et a échoué. Il le fait car il a réfléchi à des pistes de démonstration qui lui semblent faire avancer la démonstration voire en constituer des parties. Il le fait car des parallèles avec d'autres situations lui semblent rendre presque certain la vérité de la conjecture. Dans chaque cas, il le fait suite à un travail assimilable à un calcul : la conjecture n'est pas là par hasard, mais parce qu'elle possède un contenu en calcul.

L'examen de ce qui est considéré comme ayant de la valeur en mathématiques nous semble confirmer que derrière chaque situation, chaque connaissance, chaque démonstration, chaque théorie, chaque conjecture, chaque algorithme, on trouvera une forme de calcul, plutôt long et disposant de programmes courts, dont la mémorisation du résultat est ce que le mathématicien reconnaît comme possédant de l'intérêt et qu'il souhaite conserver et transmettre. En mathématiques la valeur est bien un contenu en calcul, et même de la profondeur logique de Bennett.

Il est remarquable qu'on puisse analyser l'évolution de la vie comme de la production d'objets ayant une grande profondeur logique, et qu'il en soit de même pour les connaissances scientifiques, les œuvres d'art, et les résultats mathématiques. Cela constitue un argument fort en faveur de la thèse défendue ici que ce qui change, ce qui s'accumule, ce qui désigne le progrès, ce qui fixe la nouveauté est lié aux calculs et doit se comprendre dans les termes de la théorie du calcul. Les calculs dont nous parlons sont les calculs irréductibles mémorisés ; ils s'accumulent sauf accidents, mais bien sûr ceux-ci sont possibles (nous ne défendons pas une vue finaliste !). Ces calculs sont la variable centrale de l'évolution biologique, humaine, technologique. Ils sont ce qui détermine le futur.

Le cas des mathématiques où nous accumulons en les organisant toujours mieux les connaissances abstraites sous forme de théorèmes (avec leurs démonstrations), d'algorithmes, de systèmes logiques, c'est-à-dire de contenus en calcul, plus encore peut-être que celui de l'art où de manière moins interconnectée nous élaborons toujours plus d'objets organisés (c'est-à-dire de contenus en calcul) pour le seul plaisir que leur vision ou leur écoute nous donne, montre que l'homme est un collectionneur universel de complexité organisée. Qu'importe que cela soit utile, qu'importe que cela se vende ou non (il n'y a pas de marché des théorèmes mathématiques), nous aimons ces concentrés cristallisés de calculs et de structures, nous les aimons pour eux-mêmes, nous sommes des collectionneurs universels de complexité organisée.


Un commentaire pour “Le contenu en calcul des mathématiques”

  1. Claude Chaunier Répondre | Permalink

    Il n'y a pas que les énoncés courts aux démonstrations inévitablement longues qui ont une grande valeur en mathématiques. Il y a aussi, et sans doute même essentiellement, les énoncés courts dont la démonstration nous a longtemps paru devoir être longue, voire improbable, jusqu'à ce que l'on en trouve une qui soit étonamment courte.

    C'est que notre programme humain d'énumération d'énoncés et de preuves n'est pas patient, systématique, sagement ordonné. Il utilise des raccourcis heuristiques -- une intuition justifiée -- qui évite quantité de chemins inutiles... et qui loupe immanquablement d'autres chemins vitaux. Un aveuglement éclairé.

    Par contre, à un deuxième degré, on pourrait voir cette démonstration courte comme un énoncé court et son obtention, le parcours de notre programme de recherche, comme une démonstration longue.

    Il se passe quelque chose d'analogue dans le développement stratégique d'un jeu tel que les échecs ou le jeu de go.

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