La contraction des longueurs en relativité : au-delà de M. Tompkins


Lorsqu’on s’intéresse à la relativité restreinte, on est assez vite confronté au phénomène déroutant de contraction des longueurs. Il est souvent résumé par la phrase « les objets en mouvement semblent raccourcis dans la direction de leur déplacement ». Cette formulation est parfois illustrée par un schéma tiré de, ou inspiré par, les dessins de John Hookam que l’on trouve dans « M. Tompkins au pays des merveilles », roman de vulgarisation de George Gamow : un personnage qui passe à bicyclette semble tout ratatiné, façon Giacometti.

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Or, cette image est incorrecte. D’une part, la phrase ci-dessus ne décrit pas le phénomène de contraction des longueurs, et d’autre part l’apparence d’un corps en mouvement est plus complexe que ce que suggère le dessin de M. Tompkins.

Commençons par le premier point. D'après les lois de la relativité, lorsqu’on mesure la longueur d’un objet en mouvement (une règle, par exemple), on obtient une valeur plus faible que lorsque la règle est au repos. Lorsqu’on mesure, pas lorsqu’on regarde. Pour mesurer la longueur de la règle en mouvement, il faut repérer précisément la position des deux extrémités, à un même instant. Par exemple, on peut imaginer le long du passage de la règle tout un réseau de micro-capteurs munis d’horloges qui ont toutes été préalablement synchronisées. À une heure donnée, convenue d’avance, tous les micro-capteurs s’allument et sondent brièvement leur environnement immédiat. La distance entre le micro-capteur qui a détecté le passage d’un extrémité de la règle, et celui qui a détecté le passage de l’autre, c’est la mesure de la longueur de la règle en mouvement. C’est elle qui est plus courte que la longueur de la règle au repos.

La question de ce qu’on voit, vraiment avec nos yeux, quand la règle passe, est radicalement différente de ce que je viens de décrire. Imaginons que vous regardiez une flèche qui vient vers vous, pointe en avant, pour frôler votre visage puis s’éloigner, comme si vous esquiviez de justesse un carreau d’arbalète. Oublions la relativité pour commencer. Dans un monde où la vitesse de la lumière a une valeur finie, la lumière qui vous parvient de l’avant de la flèche (la pointe) a mis un peu moins de temps à vous arriver que celle qui vient de l’arrière de la flèche (les plumes), lorsque la flèche s’approche. La lumière qui vous parvient des plumes a été émise plus tôt que celle qui vous parvient de la pointe. La flèche a avancé entre temps. On se convainc aisément, en relisant trois fois ce paragraphe à tête reposée, que la flèche semble plus longue qu’elle ne l’est réellement ! Une analyse similaire montre que la flèche semble plus courte lorsqu’elle s’éloigne. Ces effets sont d'autant plus marqués que la vitesse de la flèche est importante.

Dans notre monde relativiste, les deux effets se mêlent. La flèche qui s’éloigne paraît vraiment plus courte (et ce d’autant plus que sa vitesse est élevée). On peut montrer que la flèche qui s’approche paraît plus longue. Cet effet est très bien connu, au moins depuis 1924 par les travaux d'Anton Lampa[1] et on lit régulièrement des mises au point sur ce sujet dans la revue American Journal of Physics, par exemple[2,3]. La vision proposée par George Gamow dans M. Tompkins est donc incorrecte (ce qui ne retire absolument rien à la valeur pédagogique de l'ouvrage !).

Aujourd’hui, on peut se familiariser avec cet effet grâce à des logiciels qui permettent de visualiser des scènes en tenant compte des lois de la relativité (dans des univers où la vitesse de la lumière serait beaucoup plus faible, pour que les effets soient perceptibles). Le pseudo-jeu libre et gratuit « A slower speed of light » créé par une équipe du MIT[4], par exemple, permet de se promener en vue subjective dans un décor animé et de faire diminuer la vitesse de la lumière en avalant des jetons façon pac-man. On peut vérifier un effet extrêmement contre-intuitif : lorsque vous accélérez dans une direction donnée, vous voyez les éléments qui se trouvent devant vous commencer par s’éloigner de vous. Si à l’inverse, initialement à l’arrêt, vous accélérez en reculant, vous voyez les éléments qui se trouvent devant vous commencer par se rapprocher de vous. On le constate clairement sur la vidéo suivante, où je me suis amusé à faire des accélérations vers l’avant puis vers l’arrière. On peut aussi voir dans cette vidéo, avec les explication d'Étienne Parizot, comment cet effet peut être mis en évidence de façon encore plus immersive.

Le lecteur curieux pourra trouver dans la bibliographie ci-dessous quelques études plus poussées de l'apparence relativiste des objets en mouvement. L'effet Terrell-Penrose, en particulier, est très surprenant ! Il pourra aussi explorer les liens entre ce phénomène et celui d’aberration stellaire d’une part, et celui d’effet Doppler d’autre part : ils sont très serrés…

Bibliographie

  • [1] « Wie erscheint nach der Relativitätstheorie ein bewegter Stab einem ruhenden Beobachter?,” » Z. Phys. 27 (1924) p. 138. [lien]
  • [2] « Brightness and color of rapidly moving objects: The visual appearance of a large sphere revisited », U. Kraus,  American Journal of Physics 68 (2000) p. 56 [lien]
  • [3] « The appearance, apparent speed, and removal of optical effects for relativistically moving objects »,  Robert J. Deissler, American Journal of Physics 73 (2005) p. 663 [lien]
  • [4] « Visualizing relativity: The OpenRelativity project », Zachary W. Sherin et al., American Journal of Physics 84 (2016) p. 369, [lien]

13 commentaires pour “La contraction des longueurs en relativité : au-delà de M. Tompkins”

  1. George Brige Répondre | Permalink

    Bonjour
    Pour info, Paris Diderot met à disposition sur son site une video de simulation 3D des lois de la relativité restreinte baptisée "EVEILS" depuis 2012.
    Cdt

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      En effet, je lis votre commentaire juste après avoir ajouté la référence et le lien vers cette vidéo dans le billet, après qu'une autre personne me l'a également signalée. Merci ! 🙂

  2. HFD Répondre | Permalink

    Si ce n'est que le vélo étant perpendiculaire à l'axe d'observation (en toute rigueur, il faudrait qu'il se trouve au centre de l'image), la lumière venant de l'avant du vélo et celle venant de l'arrière ont été émises en même temps. Celles-ci ayant parcouru la même distance pour arriver à l'observateur, celui-ci les perçoit en même temps. L'effet décrit dans ce texte ne joue donc pas dans ce cas particulier, ou alors de manière minime en raison du fait que le vélo n'est pas précisément au centre de l'image.
    Quant aux vidéo qui montrent que lorsqu’on accélère, l’arrière plan semble dans un premier temps s’éloigner, c’est parfaitement normal. Lorsque qu’on accélère un référentiel, celui-ci se contracte plus rapidement que la lumière ne le parcourt. En effet, dans un référentiel en mouvement, les horloges présentent un décalage instantané de VX’/C² comme le montre les équations de transformations de Fitzgerald-Lorentz (X’ étant la distance séparant les horloges et les bornes fixées dans le référentiel en mouvement), tandis que la lumière se déplace dans ce référentiel à la vitesse X’/C : V/C étant inférieur à 1, X’/C est supérieur à VX’/C². Or, si on veut éviter les déformations du référentiel à accélérer, il faut synchroniser des horloges tout au long du référentiel, y coupler des horloges, et faire en sorte que tous les moteurs envoient la même poussée simultanément, d’après les horloges du référentiel en mouvement, c'est-à-dire avec le décalage, vu du référentiel fixe de VX’/C². Le référentiel se contractant plus rapidement que la lumière ne le parcourt, dans un premier temps, les bornes fixées au référentiel en mouvement qui sont proches des montagnes d’arrière plan indiquent un kilométrage supérieur au kilométrage indiqué par les bornes du même référentiel lorsqu’il était fixe. Les montagnes semblent donc dans un premier temps s’éloigner, puis, lorsque la contraction du référentiel en mouvement est terminée, alors, les bornes du référentiel en mouvement proches des montagnes sont de plus en plus proche de l’observateur et indiquent donc un kilométrage allant en diminuant, et l’observateur mesure alors grâce aux bornes de son référentiel (qui étant fixé à son référentiel sont pour lui sont au même endroit dans son référentiel que lorsqu'il était fixe) qu’il se rapproche des montagnes. Bien évidemment, il n’est pas nécessaire d’avoir des bornes physiques et des horloges physiques dans le référentiel considéré. On peut aussi mesurer les distances en envoyant un signal lumineux vers les montagnes et mesurer les temps qu’il met à lui revenir. Avec à l’arrêt, 2X = CT, (T étant le temps mesuré par l’horloge du référentiel fixe se trouvant à coté de l’observateur) et dans le référentiel en mouvement, 2X’ = CT’ (T’ étant le temps mesuré par l’horloge du référentiel mobile fixée à coté de l’observateur du référentiel mobile)

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      Précisément, le vélo n'est pas au centre de l'image sur le dessin, et l'effet décrit dans le texte est important, et ce d'autant plus que la vitesse du vélo est proche de celle de la lumière. Jetez un œil à la référence 3 donnée dans le texte, il s'intéresse très précisément au point que vous soulevez, avec des montages photo montrant l'apparence d'un personnage qui passerait en skate-board devant l'appareil photo.

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      Et pour répondre de façon plus précise à votre premier point, même si le centre du vélo se déplace perpendiculairement à la ligne de visée de l'observateur, la partie arrière se rapproche légèrement de vous et sa taille angulaire est diminuée, tandis que la partie avant s'éloigne légèrement de vous et sa taille angulaire est augmentée : l'apparence du vélo qui passe n'est pas celle que suggère le dessin.

      Le fait que la lumière met le même temps pour nous parvenir de l'avant que de l'arrière (ce que vous indiquez au début de votre message) est correct mais ne permet pas de comprendre la forme apparente du vélo.

  3. galois69 Répondre | Permalink

    24/03/17 à 18:29
    Que se passerait-t-il si au lieu d'utiliser un vélo, on utilisait une fusée avec un personnage en tête de la fusée et un personnage en queue de la fusée, toutes autres conditions restant les mêmes ?

    • galois69 Répondre | Permalink

      D'abord, je tiens à vous signaler que l'image du vélo a été introduite dans un ouvrage de vulgarisation de Georges Gamow qui présentait cette expérience avec beaucoup d'humour. Personnellement, je possède l'ensemble de la collection de cet auteur parue chez Dunod et aussi dans un film de Carl Sagan dans les années 80 présenté à la télévision. Carl Sagan enseignait à l'université d'Ithaca à New-YorK et j'en possède plusieurs volumes.

      Pour en revenir au problème posé, je voulais vous indiquer quelles seraient les conséquences de l'expérience présentée ci-dessus si on remplace le vélo par une fusée avec un personnage à l'avant de la fusée et un personnage placé à l'arrière de la fusée, toutes autres conditions restant inchangées ?

      • Richard Taillet Répondre | Permalink

        Bonjour,

        En ce qui concerne votre première remarque que vous tenez à faire, sur l'origine de l'image, je tiens à mon tour à préciser que c'est une des premières choses que j'ai mentionnées dans cet article.

        Sinon je n'ai toujours pas compris votre question : vous voulez remplacer le vélo par une fusée, « toutes autres conditions restant inchangées » mais vous rajoutez quand même des personnages à l'avant et à l'arrière (il n'y en avait pas dans le cas du vélo). Du coup, quelle question, *précisément*, vous posez-vous dans la situation faisant intervenir une fusée au lieu d'un vélo ?

  4. galois69 Répondre | Permalink

    Bonjour,

    Excusez-moi pour cette erreur.En effet, j'ai bien relu votre description sur la dilatation des longueurs et, effectivement, vous faites bien mention de Mr Monsieur Tompkins.
    Quant à la question posée, je voudrais vous demander simplement, ce qui se passerait si on substituait une fusée au vélo .

    Merci beaucoup pour votre réponse.

  5. galois69 Répondre | Permalink

    Bonjour,

    Excusez-moi encore de vous déranger sur le problème de la dilatation des longueurs mais je n'ai toujours pas reçu de réponse à ma dernière question.

    En dehors de ce problème de physique, je pense que vous avez entendu parler de la mort de Pierre Binétruy, un astrophysicien que j'envisageais de contacter prochainement. J'avais acheté récemment son ouvrage "A la poursuite des ondes gravitationnelles"

    Merci beaucoup pour la réponse.

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      Bonjour,

      Je n'ai pas répondu à votre question car je ne l'ai pas mieux comprise lorsque vous l'avez répété, que la première fois (mon problème n'était pas que je n'arrivais pas à la lire, mais que je ne la comprenais pas). À part vous dire de remplacer "vélo" par "fusée" dans le texte, mais vous avez certainement autre chose en tête !

      Du coup, si vous attendez une autre réponse, je vous invite à reformuler votre question : en particulier, pourquoi vous attendez-vous que quelque chose soit différent avec une fusée (ou une voiture, ou un bateau, ou ce que vous voulez) ?

  6. Jean-Louis Marguerin Répondre | Permalink

    En tient-on compte lorsque l'on étudie les galaxies aux confins de l'univers ?je profite de l'occasion : Problème inverse ,on voit le fond de l'univers rouge ,donc on en déduit qu'il accélère (effet "doppler" ).mais si on prend 2 photons ,l'un rouge ,l'autre violet (Er=pr.c et Ev=pv.c) Er énergie du photon rouge ,Ev énergie du photon violet c vitesse de la lumière,pr et pv les quantités de mouvement respectifs . Si ces 2 photons partent en même temps ,du même point situé au fond de l'univers ,déformation de l'espace -temps oblige ,arriveront-ils en même temps sur terre ?

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